Rumus Turunan Fungsi Aljabar: Konsep dan Contoh Soal Lengkap

Ditulis pada oleh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar: Konsep dan Contoh Soal Lengkap – Turunan adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu fungsi.

Dalam konteks fungsi aljabar, turunan digunakan untuk slot deposit 10 ribu menganalisis sifat-sifat fungsi tersebut, seperti kemiringan garis singgung, kecepatan, dan percepatan. Artikel ini akan membahas secara mendalam rumus turunan fungsi aljabar, aplikasi, serta contoh soal lengkap untuk memudahkan pemahaman.

Baca juga : Fakultas Ekonomi Universitas Negeri Manado Program Studi dan Beasiswa

Pengertian Turunan

Turunan dari suatu fungsi adalah ukuran seberapa cepat nilai fungsi tersebut berubah terhadap perubahan nilai variabel independennya. Secara matematis, turunan dari fungsi f(x)f(x) terhadap xx dinotasikan sebagai f′(x)f'(x) atau dfdx\frac{df}{dx}.

Rumus Dasar Turunan

  1. Turunan Konstanta Jika cc adalah konstanta, maka turunan dari cc adalah nol:
ddx(c)=0\frac{d}{dx}(c) = 0
  1. Turunan Fungsi Linear Jika f(x)=ax+bf(x) = ax + b, di mana aa dan bb adalah konstanta, maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=af'(x) = a
  1. Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x)=xnf(x) = x^n, di mana nn adalah bilangan real, maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}
  1. Turunan Fungsi Eksponensial Jika f(x)=exf(x) = e^x, maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=exf'(x) = e^x
  1. Turunan Fungsi Logaritma Jika f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}
  1. Turunan Fungsi Trigonometri
    • Jika f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x), maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)
  • Jika f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x), maka turunan dari f(x)f(x) adalah:
f′(x)=−sin⁡(x)f'(x) = -\sin(x)
  • Jika f(x)=tan⁡(x)f(x) = \tan(x), maka turunan dari f(x)f(x) situs judi bola adalah:
f′(x)=sec⁡2(x)f'(x) = \sec^2(x)

Aturan Turunan

  1. Aturan Penjumlahan Jika f(x)f(x) dan g(x)g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari penjumlahan kedua fungsi tersebut adalah:
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)
  1. Aturan Perkalian Jika f(x)f(x) dan g(x)g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari perkalian kedua fungsi tersebut adalah:
(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
  1. Aturan Pembagian Jika f(x)f(x) dan g(x)g(x) rajamahjong88 adalah dua fungsi, maka turunan dari pembagian kedua fungsi tersebut adalah:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g(x)2\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}
  1. Aturan Rantai Jika f(x)f(x) dan g(x)g(x) adalah dua fungsi, maka turunan dari komposisi kedua fungsi tersebut adalah:
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Aplikasi Turunan

  1. Menentukan Kemiringan Garis Singgung Turunan digunakan untuk menentukan kemiringan garis singgung pada suatu titik pada grafik fungsi. Jika f(x)f(x) adalah fungsi, maka kemiringan garis singgung pada titik x=ax = a adalah f′(a)f'(a).
  2. Menentukan Kecepatan dan Percepatan Dalam fisika, turunan digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan. Jika s(t)s(t) adalah fungsi posisi terhadap waktu, maka kecepatan adalah turunan pertama dari s(t)s(t), yaitu v(t)=s′(t)v(t) = s'(t), dan percepatan adalah turunan kedua dari s(t)s(t), yaitu a(t)=s′′(t)a(t) = s”(t).
  3. Menentukan Titik Ekstremum Turunan digunakan untuk menentukan titik ekstremum (maksimum dan minimum) dari suatu fungsi. Titik ekstremum terjadi ketika turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol, yaitu f′(x)=0f'(x) = 0.
  4. Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Turunan digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi pada interval tertentu. Dengan menggunakan turunan pertama dan kedua, kita dapat menentukan titik kritis dan menguji apakah titik tersebut merupakan maksimum atau minimum.

Contoh Soal dan Pembahasan

  1. Contoh Soal 1 Tentukan turunan dari fungsi f(x)=3×2+5x−7f(x) = 3x^2 + 5x – 7.Pembahasan:
f′(x)=ddx(3×2)+ddx(5x)−ddx(7)f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) – \frac{d}{dx}(7)
f′(x)=3⋅2×2−1+5⋅1×1−1−0f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} – 0
f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5
  1. Contoh Soal 2 Tentukan turunan dari fungsi g(x)=2×3−4x+1x2g(x) = \frac{2x^3 – 4x + 1}{x^2}.Pembahasan:

\[ g(x) = \frac{2x3}{x2} – \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2} \]

g(x)=2x−4x+x−2g(x) = 2x – \frac{4}{x} + x^{-2}
g′(x)=ddx(2x)−ddx(4x)+ddx(x−2)g'(x) = \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) + \frac{d}{dx}(x^{-2})
g′(x)=2−(−4x−2)+(−2x−3)g'(x) = 2 – (-4x^{-2}) + (-2x^{-3})
g′(x)=2+4×2−2x3g'(x) = 2 + \frac{4}{x^2} – \frac{2}{x^3}
  1. Contoh Soal 3 Tentukan turunan dari fungsi h(x)=sin⁡(x)⋅ln⁡(x)h(x) = \sin(x) \cdot \ln(x).Pembahasan:
h′(x)=ddx(sin⁡(x))⋅ln⁡(x)+sin⁡(x)⋅ddx(ln⁡(x))h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))
h′(x)=cos⁡(x)⋅ln⁡(x)+sin⁡(x)⋅1xh'(x) = \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}
h′(x)=cos⁡(x)⋅ln⁡(x)+sin⁡(x)xh'(x) = \cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}

Kesimpulan

Turunan fungsi aljabar adalah konsep dasar dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu fungsi. Dengan memahami rumus dasar turunan, aturan turunan, dan aplikasi turunan, kita dapat menganalisis sifat-sifat fungsi aljabar dengan lebih baik.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *